El diagrama de Voronoi (II)

Dentro de las entradas con motivo del Carnaval de Matemáticas os contaba en qué consistía el diagrama de Voronoi. Ahora nos extenderemos un poco con algunas propiedades y algo de historia.

Os recuerdo que, dado un conjunto de puntos S en el plano, su diagrama de Voronoi es la partición del plano en regiones, tal que a cada punto de S le hace corresponder la región formada por aquellos puntos que están más cerca suya que de cualquier otro punto de S.

Sencillo, ¿no? Y al mismo tiempo una herramienta muy potente, ya que almacena gran parte de la información relativa a noción de proximidad entre puntos. Por ejemplo, supongamos que cada generador del diagrama es un detector y queremos atravesar un terreno sin disparar las alarmas, ¿por dónde hemos de ir? Lo más lejos posible de cada detector, claro. Pero con cuidado de que al alejarnos de uno no nos estemos acercando demasiado a otro. ¿Cuáles son los puntos que mantienen una mayor distancia entre detectores? Justamente los que forman las aristas del diagrama.

Otro problema: queremos situar una fábrica contaminante lo más lejos posible de cualquier ciudad, ¿cómo encontrar el sitio idóneo? Recurriendo de nuevo al diagrama de Voronoi, sabiendo que los vértices (puntos que pertenecen al borde de tres regiones) del diagrama son los que están más lejos de los generadores de esas regiones y, por ende, de los demás. Luego nuestra búsqueda se reduce sólo a comprobar los vértices del diagrama.

Además, continuando con el ejemplo de las ciudades, consideremos ahora que queremos unirlas todas mediante fibra óptica, de manera que todas estén conectadas pero con el menor gasto en cable posible. Pues la solución también pasa por estudiar quienes tienen regiones adyacentes en el diagrama de Voronoi.

 

La lista de aplicaciones del diagrama suma y sigue: biología, química, antropología... Una buena página para ver algunas de ellas es The Voronoi Web Site.

Para terminar un poco de historia. La idea detrás del diagrama es tan intuitiva que éste ha aparecido varias veces a lo largo de la historia bajo diversos nombres. Os comento sólo dos de las más antiguas que conocí gracias a una página de la American Mathematical Society. Una primera aparición del diagrama se remonta al S. XVII en un trabajo de Descartes ilustrando cómo se distribuye la materia en el sistema solar.

Otro ejemplo curioso de utilización del diagrama de Voronoi tuvo lugar durante la epidema de cólera de Londres en 1854. Sospechando una relación entre la enfermedad y el suministro de agua, el médico John Snow apuntó sobre un mapa de Londres la dirección de las muertes debidas a la epidemia. Luego dividió la zona en regiones según su cercanía a cada una de las fuentes de agua. Sin saberlo, Snow estaba utilizando un diagrama de Voronoi de las fuentes de Londres y comprobando en qué región había un número mayor de fallecidos. Casi todos caían dentro de una misma región, lo que le permitió relacionar la enfermedad con la contaminación del agua.

El diagrama de Voronoi (I)

Una entrada para el Carnaval de Matemáticas que empieza con una cita de Groucho Marx que cobrará sentido al final del artículo.

"Claro que lo entiendo. Incluso un niño de cuatro años podría entenderlo. ¡Que me traigan un niño de cuatro años!."

El diagrama de Voronoi es una de las estructuras clásicas en Geometría Computacional (disciplina encargada de resolver problemas geométricos mediante métodos algorítmicos). Es una estructura al tiempo sencilla y poderosa, que parte de una idea tan natural que ha sido descubierta varias veces a lo largo de la historia. De ahí los distintos nombres con los que ha sido conocido: diagrama de Voronoi, polígonos de Thiessen, regiones de Wigner-Seitz, etc.

 

Georgy Voronoi (1868-1908). Foto tomada de Wikipedia.

Pero, ¿qué es el diagrama de Voronoi? Vamos a ilustrarlo con un ejemplo sencillo: supongamos que tenemos una empresa cuya función es ayudar a nuestros clientes a encontrar los servicios más cercanos a su situación actual. Recibimos unas coordenanas por teléfono, web, aplicación móvil... y, en el menor tiempo posible, tenemos que suministrarle la dirección del restaurante, gasolinera, parking, etc. más cercano. ¿Cómo lo hacemos?

Pensemos en el problema de manera geométrica. Partimos de un conjunto de puntos en el plano correspondientes a una categoría de servicios (por ejemplo, gasolineras). Cada consulta de nuestro cliente podemos interpretarla como un nuevo punto que tenemos que emparejar con el más cercano del conjunto inicial. ¿Cómo lo seleccionamos? Fácil, diremos: mido las distancias a cada una de las gasolineras y me quedo con la más pequeña. 

Respuesta correcta, pero no del todo. Repetimos las condiciones del problema: tenemos que dar la respuesta en el menor tiempo posible. ¿Cuánto tardamos con este procedimiento? Lo que nos lleve medir la distancia a cada una de las gasolineras. No podemos hacerlo en menos tiempo porque, a priori, no podemos dejar de comprobar ninguna de ellas. ¿Significa esto que éste el mejor método entre todos los posibles? 

Pues sí y no. Sí, si sólo vamos a tener unos pocos clientes; pero si esperamos que nuestra empresa sea un éxito (y con lo que nos ha constado montarla pongámonos en el mejor de los casos) y recibir miles de peticiones a cada instante, podemos hacerlo un poco mejor. Y aquí alguien ya habrá dado con la respuesta: en lugar de medir la distancia a cada una de las gasolineras hacemos una partición del plano en regiones, de tal forma que si un punto cae dentro de una determinada región entonces podemos decir cuál es su gasolinera más cercana. 

Justamente eso es el diagrama de Voronoi. Sencillo, ¿no?

O, si queremos una defición más precisa: dado un conjunto S de generadores en el plano, el diagrama de Voronoi de S es la teselación (partición) del plano tal que a cada punto de S le asigna la región formada por los puntos del plano que están más cerca suya que de cualquier otro elemento de S. Y viene a tener más o menos esta pinta:

 

No nos engañemos, construir el diagrama no es más rápido que medir la distancia a cada gasolinera. Nada (que funcione) es más rápido que eso. Pero si bien construir el diagrama es más lento, sólo tenemos que hacerlo una vez, y a partir de ahí determinar en qué región está un punto sí puede hacerse antes. Y ahí está el quid de la cuestión. Gastamos un poco más de tiempo al inicio, pero luego nuestras búsquedas serán mucho más rápidas (que es lo que nos exigen nuestros clientes).

Parece sencillo, ¿verdad? Como diría Groucho Marx, incluso un niño de cuatro años podría entenderlo. Y a las pruebas me remito: hace algún tiempo invitaron a unos compañeros de trabajo a ir a la guardería de su hijo a contar a qué se dedicaban. Podían haberse conformado con decir que eran profesores, pero en lugar de eso quisieron contar que eran investigadores, que su campo era la Geometría Computacional y explicarles algunos problemas de la disciplina. ¿Cómo hacerlo con niños de cuatro años? La solución en el siguiente dibujo.

¿Qué Lunni será el primero en llegar al caramelo? El que esté más cerca pero, ¿cómo podemos saberlo rápido rápido?

 

Voilà, el caramelo es de Lucho.

Humor y matemáticas

Una de las cosas que llama la atención a muchos de mis amigos no-matemáticos es la cantidad de chistes sobre matemáticas que existen (no hay más que hacer una búsqueda, o dos, para darse cuenta). Siempre me ha gustado esa capacidad para reírnos de nosotros mismos que no he encontrado en casi ninguna otra especialidad.

Así, que aprovechando el Carnaval de Matemáticas, he vuelto a reunir algunas de mis viñetas favoritas. Que os divirtáis.

Me la envió Zifra.

 

De xkcd.

Vista en Ovablastic

Y algunas más de mis favoritas de Calvin & Hobbes:

 

 

No hay lugar para las matemáticas feas

Para sumarme al Carnaval de Matemáticas os traigo un pensamiento de G. H. Hardy:

Los modelos de un matemático, al igual que los de un pintor o un poeta, deben ser hermosos; las ideas, como los colores o las palabras, deben ensamblarse de una forma armoniosa. La belleza es la primera señal, pues en el mundo no hay un lugar permanente para las matemáticas feas.

Hasta aquí bien, pero luego leo que en su libro A Mathematician's Apology Hardy consideraba como matemáticas feas a la matemática aplicada, y eso me escuece un poco más (aunque reconozco que es cuestión de gustos).

La canción húngara del suicidio

Estamos en el restaurante Kispipa de Budapest, en 1933. Encargado de amenizar la comida, como suele ser habitual, se encuentra el pianista autodidacta Rezső Seres. Pero esa noche es distinta; Rezső estrena una composición nueva: Szomorú vasárnap, más conocida como Gloomy Sunday, en la que pone música a un poema del mismo título de su compatriota László Jávor. Al parecer el mismo Jávor había pedido a Seres que pusiera música al poema que relataba una infortunada aventura que había tenido con una mujer casada. 

Los clientes del Kispipa no son conscientes de que están escuchando por primera vez la que será conocida como la canción húngara del suicidio. Según cuenta la leyenda, desde entonces la tristeza de la canción ha hecho que muchos que la escuchaban decidiesen acabar con su vida. El propio Seres muere al arrojarse desde una ventana poco después de su 69 cumpleaños.

Aunque la asociación de la canción al suidicio posiblemente no fuera más que un truco publicitario, la leyenda circuló ampliamente, llegando incluso a que la BBC prohibiera su emisión. Prohibición que se relajó luego permitiendo radiar solo la versión instrumental.

El restaurante Kispipa sigue manteniendo un piano, presidido por un retrato de Rezső Seres. Los clientes pueden solicitar al pianista Gloomy Sunday (aún a riesgo de que se suiciden sin pagar la cuenta).

Restaurante Kispipa en la actualidad. Gracias a Almar por la foto.

Para acabar os dejo con la versión que la popularizó en el mundo, en la voz de Billie Holiday. Bajo vuestro propio riesgo.

La fe y las montañas

Al principio la Fe movía montañas sólo cuando era absolutamente necesario, con lo que el paisaje permanecía igual a sí mismo durante milenios.

Pero cuando la Fe comenzó a propagarse y a la gente le pareció divertida la idea de mover montañas, éstas no hacían sino cambiar de sitio, y cada vez era más difícil encontrarlas en el lugar en que uno las había dejado la noche anterior; cosa que por supuesto creaba más dificultades que las que resolvía.

La buena gente prefirió entonces abandonar la Fe y ahora las montañas permanecen por lo general en su sitio.

Cuando en la carretera se produce un derrumbe bajo el cual mueren varios viajeros, es que alguien, muy lejano o inmediato, tuvo un ligerísimo atisbo de fe.

FIN

Del libro La oveja negra y demás fábulas de Augusto Monterroso.

Vendo

Vendo zapatos de bebé. Sin usar.

Atribuido a Ernest Hemingway.

En su versión original, el microrrelato consta de seis palabras: "For sale: baby shoes, never worn". Es decir, dos más que El emigrante de Luis Felipe Lomelí que apareció por aquí hace unos días, y que en la entrada de Wikipedia relativa a Augusto Monterroso calificaban como "el cuento más breve de la literatura universal". Pero si incluímos su título, que es fundamental para dar al relato su fuerza, alcanzamos las seis palabras del microrrelato de Hemingway.

En fin, cuestiones de cuentas y no de cuentos. Si queréis saber un poco más de estas historias os recomiendo este artículo de Letras Libres.